기하학
정의
- 공간에 있는 도형이나 대상들의 치수, 모양, 상대적 위치 등을 연구하는 수학의 한 분야이다.
- 점,선,면, 부피 사이의 관계 및 공간의 수리적 성질을 연구하는 학문
대상 : 기하학이 다루는 대상으로는 점, 선, 면, 도형, 공간과 같은 것이 있다.
어원
- ‘기하(幾何)’는 길이·넓이 등이 ‘얼마인가?’를 뜻하는
- Geometria : Geo(earth)+metry(measure)
역사
- 땅을 나누어 주기 위해서 크기를 재기 시작
- 신대륙 발견 후 천문관측, 지도제작, 위치표시와 같은 항해기술이 필요했고 이를 통해 기하학도 발전
과거 기하학 : 직선(눈금없는)과 원으로 모든 기하학을 설명 하려함
근대 기하학 : 데카르트는 직교 좌표계를 도입하여 대수학을 기반으로 기하학을 재편, 17세기
- 좌표기하학을 체계적으로 도입하여 기하학과 대수학을 서로 뗄레야 뗄 수 없는 밀접한 분야로 만들었습니다.
직교 좌표계 도입 : 도형 작도 -> 방정식에 대응하는 직교 좌표 위의 점들로 표현
- eg. 원 = 한 정점으로 부터 동일한 거리에 있는 점들 = $${\displaystyle x^{2}+y^{2}=a^{2}} {\displaystyle x^{2}+y^{2}=a^{2}}$$ (a는 반지름)
해석 기하학 : 기하학의 개체를 좌표계 안에서 대수적으로 표현하는 것
주요 개념
기하학이 다루는 대상은 추상적인 정의(定義)에 의해 가정
- 점 : 위치만을 나타내며 넓이나 부피가 없는 것
- 선분
- 각
- 도형
- 원 : 하나의 정점에서부터 동일한 거리에 놓여 있는 점들의 집합
- 곡선
기하학의 대상이 정의되면 이를 바탕으로 공리를 설정
eg. 에우클레이데스의 5가지 기하학 공리
- 임의의 서로 다른 두 점 P, Q에 대해 두 점을 지나는 직선은 유일하다.
- 임의의 두 선분 AB, CD에 대해 B가 A와 E 사이에 위치하고 선분 BE의 길이가 선분 CD의 길이와 같게 되는 점 E는 유일하다.
- 점 O를 정점으로 하고 반지름이 OP인 원을 그릴 수 있다.
- 모든 직각은 합동이다.
- 하나의 직선 위에 있지 않은 점 P를 지나는 평행선은 유일하다.
공리 : 기하학의 대상들이 갖는 기본 성질로서, 자명하다고 여겨지는 가장 기초적인 명제
주요 정리
- 피타고라스 정리
- 원루 곡선
위키피디아 기하학의 역사 제 1장 – 기하학이 탄생하다.:EBS, 5분 기하학의 역사 제 2장 – 피라미드에 담겨있는 비밀:EBS, 6분 기하학의 역사 제 3장 – 기하학을 집대성하다:EBS, 5분