1. Week 1

1-1. 자연수, 정수 그리고 유리수

A. 자연수

• Natural Number

• N = 1,2,3,4,5,....

• 덧셈, 곱셈이 가능

  • 음수가 없어 뺼셈은 불가

B. 정수

• Integer(라틴어로 Whole), 독일어 Zahl

  • 정수의 정은 한자로 가지런하다, 정돈된

• z = ...-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3

  • 음수와 0을 포함한 수

• 덧셈, 곱셈, 뺄셈이 가능

C. 유리수

• 정의는 any number that can be expressed as the quotient or fraction

  • 즉, 두 개의 수(정수)를 이용해서 분수로 표현할 수 있는 모든 숫자가 되겠습니다.
  • 두 정수의 비율을 의미
  • 분모가 0이 될수는 없음

• Rational(=quotient) Number

  • 이태리어로 비율인 Quozient

• Q = -1, -(1/2), -(1/5), 0, 1/3, 1/2

• 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈이 가능

  • 사칙이 가능하다.

• 성질 : 유리수는 조밀하게 분포한다, 즉, 서로 다른 유리수의 사이에는 항상 유리수가 존재 한다.

1-2. 유리수는 무엇이 불완전한가?

피타고라스의 정리의 모순 : 피타고라스 정리에 의해 제곱하여 2가 되는 수는 유리수가 아니라는 사실을 증명하였습니다.

유리수는 Dense하지만 Complete하지 않다.

1-3. Least Upper Bound

• 유리수의 불완전함을 정확히 설명하기 위해서는, Least Upper Bound라는 추상적인 개념이 필요

• Least Upper Bound를 이해하기 위해, 집합이 bounded above되어 있다는 개념이 필요

• 대소를 구분할 수 있는 order 개념이 필요합니다.

  • 크다(>), 같다(=), 작다(<)

• 유리수는 사칙이 가능하고, Ordered가 가능하다.

  • 하지만, Least-Upper-Bounded를 가지지 못한다.
  • 따라서 완벽하지 않다.

• 유리수의 단점을 극복하기 위하여 만든 새로운 수체계 실수 탄생

  • Least Upper Bound Property 가능
  • Ordered field

> Ordered Set에서 가장 크고/가장 작은 값을 알고 싶다. = 상한 / 하한

- 상계 중에 제일 작은 것 = 최소상계(least upper bound) = 상한(supremum)
 - 즉, 그보다 조금만 작은 수를 잡으면 상계가 아닌 것

- 하계는 집합 의 모든 원소보다도 작은 수 = 최대하계(greatest lower bound) = 하한(infimum) 
    - 조금만 큰 수를 잡으면 하계가 아닌 것
    - 최대하계는 이라고도 부릅니다

- 상한과 하한은 집합에 단 한개만 존재하기에, 
    - E의 상한과 하한이 각각 a, b라면 a = supE, b = infE라는 표현이 가능

1-4. A Dedekind Cut

• 유리수를 이용해서 least upper bound property를 가지는 ordered field를 만들고 싶습니다.
  • 그래서 Dedekind cut을 이용해서 만드는 과정을 설명하겠습니다.

• Real Number = R = { all cuts}

• 해석학은 실수의 성질을 다루는 것에서 출발합니다!

• 실수는 한마디로 '완비순서체'라고도 합니다.

• 유리수와 가장 큰 차이점이 바로 이 '완비성(completeness)'이라고 하는 것인데요.

  • 완비성 = '빈틈이 없다'

• 갭을 채우기 위해 유리수로부터 이끌어낸(construct) 새로운 수의 체계를 실수(real number)라고 합니다.