선형성 정의
행렬 연산을 하려면 선형성을 만족 해야 함.
선형성 요구 사항
Superposition : $$f(x_1 + x_2) = f(x_1) + f(x_2) $$
Homogeniety : $$ f(ax) = a f(x) $$
합쳐서 $$ f(a_1 x_1 + a_2 x_2) = a_1 f(x_1) + a_2 f(x_2) $$
원점을 지나는 평면상의 직선은 선형성을 만족 하며, 백터라고 부름
1차 연립 방법식과 가우스 소거법
Singular case
- 답이 없음
답이 무수히 많음
row form
- 평행한 경우 (닶이 없음)
겹침 (답이 무수히 많음)
Column form
가우스 소거법
- 연립 방정식을 푸는 방법
- 미지수의 갯수와 방정식의 갯수가 같은 경우
All pivots are non-zero -> G.E has a unique solution
Matrix로 표현 = upper Triangular U
Breakdown
- pivot에
0이 존재 하여 가우스 소거법을 사용 못할경우, 순서를 바꾸어 문제 해결 --> pivoting
1.4 Matrix Multiplication
3강 LU 분할
1.5 Triangular Factors
$$ A x = b $$
$$ A = LU $$
Lower Triangular matrix * Upper Triangular matrix
? 가우시안 소거법을 행렬로 표현 -> Elementary Matrix $$ E{31}E{21} A $$ => U (upper triangular matrix)
Elementary Matrix in GE
$$ E{21} = \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \-l{21} & ? & ? \0 & 0 & 1 \end{bmatrix}
$$
해석 : 2번식 - (1번식 * $$L_{21}$$)
[참고]
$$ E{21}^{-1} = \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \l{21} & 1 & 0 \0 & 0 & 1 \end{bmatrix}
$$
$$ E{21}E{21}^{-1} = I $$
LU는
$$ E{32}E{31}E_{21}A = U
$$
$$ A = E{32}^{-1}E{31}^{-1}E_{21}^{-1} U
$$
$$ \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \l_{21} & 1 & 0 \0 & 0 & 1 \end{bmatrix}
\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \0 & 1 & 0 \l_{31} & 0 & 1 \end{bmatrix}
\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \0 & 1 & 0 \0 & l_{32} & 1 \end{bmatrix} U
$$
$$ \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \l{21} & 1 & 0 \l{31} & l_{32} & 1 \end{bmatrix} = Lower Triangular matrix = L
$$
LU 예시
$$ A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \ 3 & 8 \end{bmatrix}
$$
2번식 - (3번식) x 1
$$ U = \begin{bmatrix} 1 & 2 \ 0 & 2 \end{bmatrix}
$$
$$ L = \begin{bmatrix} 1 & 0 \ 3 & 1 \end{bmatrix}
$$
? Diagonal matrix(D) = A = LU = LDU
Permutation matrix(p)
Pivoting = Row Exchange을 행렬로 표시
has the same rows with Identity Matrix
- There is a single '1' in every rows and column
- $$P_{21} $$ = 2번행렬와 1번 행렬을 서로 바꿈 $$ \begin{bmatrix}0 & 1 & 0 \1 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} $$
$$P^{-1} = P^{T} $$ :P의 역행렬은 Transform하면 된다.
1.6 Inverse & Transpose
A. Inverse(역행렬)
$$ AA^{-1} = A^{-1}A = I $$
역행렬 존재 요구 사항
- 만약, 가우스 소거법 결과과 N 개의 피폿을 생성할때 (=가우스 소거법이 가능하다)
- The inverse is unique
- if $$ A^{-1} $$ exists, Ax = b => $$AA^{-1}x = A^{-1}b $$
- Assume that there is a non-zero vector X such that Ax = 0 (b=0) ==> then $$ A^{-1} $$ does not exist
- 2x2일때의 역행렬은 공식으로 유도 된다. (3x3 이상일때는 가우시안 조르단 방식을 이용)
- Diagonal Matrix의 역행렬은 $$ d_n -> 1/d_n $$
- 대각선은 0이 존재 하면 안된다. (곱해서 0이 되면 안됨)
- The inverse comes in the reverse order
- $$ (ABC)^{-1} = C^{-1}B^{-1}A^{-1} $$
$$A^{-1}$$ Gauss-Jordan Method
B. Transpose (전치행렬)
$$ A^T = a{ij} -> a{ji} $$
$$ (A+B)^T = A^T + B^T$$
$$ (AB)^T = B^TA^T$$
$$(A^{-1})^T = (A^T)^{-1} $$
Symmetric Matrix (대칭행렬)
$$ A^T = A $$ : 전치해도 값이 같다.
- if A is symmetrix and invertible, then $$ A^{-1}$$ is too