기하와 벡터
1. 직선의 방정식
Lee randomwalk : 기벡 직선의방정식 개념강의, 기벡 벡터 @직선의방정식
- u(l,m,n)은 방향벡터
- a,b,c는 지나는 점(공개된 아는점 )
- 이때 이를 지나는 무수히 많은 x,y,z를 구하는 방정식은?
| 직선의 방정식 = $$\frac{x-a}{l}=\frac{y-b}{m}=\frac{z-c}{n}$$ |
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[예제] 점 A(1-2.3)을 지나고 직선 g:2(x-1)=6(y+1)=3(z-1)에 평행한 직선의 방정식을 구하라
$$g:2(x-1)=6(y+1)=3(z-1) \rightarrow \frac{x-1}{3} = \frac{y+1}{1} = \frac{z-1}{2} (6으로 나눈값) $$
- 분모 (3,1,2)가 방향벡터
- (1, -1, 1)가 지난는점
1.1 두직선의 교점
step. 1 직선을 점으로 분해 하기
Step. 2 연립방정식 이용 풀이
1.2 두직선의 각도
step. 1 방향 벡터 구하기
Step. 2 내적 구하기
1.3 직선과 수직인 점의 길이 구하기
계획 1
step. 1 $$\bar{AH}$$ 지나는 직선 찾기
직선을 점으로 변환( g식 =k)
- x = k -1
- y = 2k +1
- z = -k +2
$$\bar{AH}$$구하기= (k-2, 2k-1, -k+2)
직선 - 점 (맞나??)
step. 2 직선 g와 연립
(k-2, 2k-1, -k+2) $$\cdot$$ (직선 g의 방향벡터) = (k-2, 2k-1, -k+2) $$\cdot$$ (1,2,-1) = 0
직선이면 내적(곱)이
0(맞나??)
k-2 + 4k -2 + k -2 =0 $$\rightarrow$$ k=1
step. 3 점 H 찾기
아래식에 K=0 넣기
- x = k -1
- y = 2k +1
- z = -k +2
H(0,3,1)
계획 2
step. 1 직선을 점으로 분해 하기
step. 2 두 점의 최소 거리 찾기
계획 3
step. 1 직선의 식 구하기
직선 = $$y = -\frac{a}{b}x - \frac{c}{b} $$
점 $$x_0, x_1$$을 지나는 가상의 직선 = $$ y = \frac{b}{a}(x-x_0) + y_0 $$
수직이기 때문에, 가상의 직선의 기울기 $$\times$$ 직선의 기울기 = -1
step. 2. 두식의 연립으로 x,y 구하기
$$-\frac{a}{b}x - \frac{c}{b} = \frac{b}{a}(x-x_0)+y_0$$
$$(\frac{b}{a}+\frac{a}{b})x = -\frac{c}{b}+\frac{bx_0}{a}-y_0 $$
$$x = (-\frac{c}{b}+\frac{bx_0}{a}-y_0)(\frac{ab}{a^2 + b^2}$$
$$ y = ....$$ 복잡하기 때문에 제외
step. 3 최종식 도출
점$$(x_1, y_1)$$과 직선 $$ax + by +c =d$$ 사이의 거리 = d = $$\frac{|ax_1 + by_1 +c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$$
2. 평면 방정식
출처 : winner블로그
2.1 평면 방정식
- 평면은 벡터가 무수히 많으므로 수직인 벡터(=법선 벡터)를 찾는것이 중요
- 한점 A를 지나면서 벡터($$\vec H)$$와 수직
- 한점과 법선벡터만 있으면 평면을 정의 할수 있음
- 수직인 벡터(a,b,c)는 평면위의 임의점(x,y,z)와 수직
- 즉, 내적 = $$|\vec a|\cdot|\vec b|\cos90 = 0$$
- $$ax+by+cz+d=0$$
| - 평면의 방정식의 x,y,z의 계수(a,b,c)가 평면의 법선벡터가 됨 - 평면의 방정식의 d는 평면과 원점까지의 최단 거리 |
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법선벡터 = 직선의 방정식의 방향벡터처럼 평면이 향하고 있는 방향을 설명하는 기준 정보
2.2 두 평면사이 관계
A. 두 평면이 이루는 각
step. 1 각 평면의 법선벡터 구하기
- $$\vec n_1$$
- $$\vec n_2$$
step. 2 구하고자 하는 각 정의
- 구하고자 하는 각 $$\theta$$는 $$\pi - \theta$$이며
$$\pi - \theta$$가 이루는 사각형의 2각은 90도임을 알고 있으므로, 나머지 각은 $$\theta$$이다. (그래야 360도가됨)
즉, 구하고자 하는 $$\theta$$는 두 법선벡터가 이루는 각도와 같다.
step. 3 최종식
두 법선 벡터의 예각의 크기 구하기
$$\cos\theta = \frac{|\vec n_1 \cdot \vec n_2|}{|\vec n_1| \times |\vec n_2|}$$
B. 두 평면의 평행/수직
평행 = 두 법선벡터가 평행
수직 = 두 법선벡터가 수직 = 두 법선 벡터 내적이 0
2.3 점과 평면 사이 거리
**
step. 1 점(A), 평면, 수선의 점(H)정의
평면의 방적식 : $$ax+by+cz+d =0$$
알려진 점 : $$A(x_1, y_1, z_1)$$
수선의 점 생성 : $$H(x_0, y_0, z_0)$$
step. 2 법선벡터 구하기 ($$\vec{n}$$)
- 법선 벡터 = 평면의 방정식의 계수
- $$ax+by+cz+d =0 \rightarrow \vec{n}=(a,b,c)$$
step. 3 $$\bar {AH}$$ 구하기
- 점과 평면사이의 거리 = $$\bar {AH}$$
- $$\vec{AH}$$ 와 $$\vec{n}$$은 평행
- 즉, $$\vec{AH}= k \vec{n}$$ (상수배)
- $$\vec{AH} = \vec{OH} - \vec{OA} $$
- $$(x_0-x_1, y_0 - y_1, z_0 - z_1) = (ka, kb, kc)$$
- $$x_0 = x_1 + ka$$
- $$y_0 = y_1 + kb$$
- $$z_0 = z_1 + kc $$
- H는 평면 위에 있으므로 평면 방정식에 위해 0이 되어야 함
- $$ax_0 + by_0 + cz_0 + d = 0$$
- 상위 두개 식을 연립하기
- $$a(x_1 + ka) + b(y_1 + kb) + c(z_1 + kc) + d = 0$$
- k로 묶기
- $$ax_1 + by_1 + cz_1 + k(a^2 + b^2 + c^2) +d = 0$$
- k로 정리 하기
- $$k = \frac{-1(ax_1 + by_1 + cz_1+d)}{(a^2 + b^2 + c^2)}$$
- $$|\bar {AH}| = |k \cdot \vec{n}| = |k|\cdot|\vec{n}| = |k|\cdot \sqrt{a^2+b^2+c^2}$$
- 왜 $$\sqrt{a^2+b^2+c^2}$$ 등장하지??
- $$|\bar {AH}| = \mid \frac{-(ax_1 + by_1 + cz_1+d)}{a^2+b^2+c^2} \mid \cdot \sqrt{a^2+b^2+c^2} $$
step. 4. 최종식 구하기
$$|\bar {AH}| = \frac{ax_1 + by_1 + cz_1+d}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}} $$