Null Space 계산 알고리즘

한양대 Youtube 강의

1. Ax = 0
2. Ux = 0
3. Rx = 0

기약행 사다리꼴을 통해 알수 있는 정보들
> A행렬을 줄이고 줄이고 줄여서 가장 간단한 형태인 R로 만들었다

1. Ax=0풀기

소거를 통해 U구하기

Step. 1번쨰 피봇 계산

Step 1 : (2)에서 Low 1에 x2를 하여 Low 2를 뺀값 Step 2 : (2)에서 Low 1에 x3를 하여 Low 3를 뺀값

Step. 2번쨰 피봇 계산

두번째Row가 0임 -> 세번쨰 Row와 행교환필요 -> 세번째 Row도 0

Step 1 : (4)에서 Low 2에 x(-1)을 하여 Low을 뺸값

진행은 하였지만, 역삼각형(Upper triangular matrix)이 아닌 계단형태, 이를 echelon form이라 함

2. Ux = 0 풀기

2.1 Pivot column와 Free column 정의 하기

special solution : 임의의 free variable을 설정하여 구한 해(solution)

• 보통 첫 번재 free variable을 1로 놓고 나머지는 0, 그 다음은 두 번재 free variable만 1로 놓고 나머지는 0으로 설정하는 식으로 계산

2.2 Free column에 임이의 값 할당 후 후방대입법으로 풀기

free columns는 임이의 값을 자유롭게 설정 할수 있음

[special solution 예제] x2=1, x4=0을 할당

	$$2x_3 = 0 \rightarrow x_3 = 0 $$ $$x_1=-2 $$ $$ X^T = {-2,1,0,0} $$

[special solution 예제] x2=0, x4=1을 할당

	$$x_3=-2$$ $$x_1=2$$ $$ X^T = {2,0,-2,1} $$

2.3 해 확장

해에 상수 c를 곱하여 새로운 해 찾을수 있음

2.4 전체 Null Space 정의

두 개의 해의 선형 결합(Linear combination)으로 구할수 있음

Rx=0 풀기

기약행 사다리꼴 행렬(Reduced row echelon form, R)

• Echelon form: 행렬 A를 소거하여 U를 만들때 U는 계단 형태일때

• Reduced row echelon form: Echelon을 좀더 소거(간소화)한 형태

  • pivot 원소들의 아래, 위로 모두 0이 되어야 한다

1. 만드는 법

Step 1. Pivot의 아래, 위를 모두 0으로 만듬

1을 곱해서 빼준다

Step 2. Pivot의 값을 모두 1로 만든다.

pivot이 있는 row전체를 pivot으로 나눠주면된다