벡터 공간
정의 : 다수의 벡터가 있고, 이 벡터들이 모여 하나의 공간을 형성하는 것이다. 백터들의 집합
조건 : 그러나 아무 벡터나 허용 되는 것은 아니다. 이 공간상에 존재하는 벡터들은 서로가 서로에게 더해질 수 있고, 임의의 숫자가 각각에 곱해져서 각 벡터의 길이가 늘어날 수도 있다
성질
- x+y = y +x
- x + (y +z ) = (x+y)+z
- there is a zero-vector(항상 Zero(원점,중점) vetor를 포함하고 있다)
- For each vector X,
- X + (-X) = (-X) + X = 0
- 1 * X = X
- c(X+Y) = cX + cY
- (c1 + c2)X = C1X + C2X
| 정의: 모든 벡터들이 존재할 수 있는 공간 |
|---|
| 요구사항 1: Closed under addition 요구사항 2: Closed under Scalar multiplications |
| [해석] - 선형결합(Linear Combination)연산이 같은 공간상에 존재하는 벡터들 사이에 가능해야 한다. - 벡터 공간내의 벡터들은 서로 더하고 임의의 scale상수를 곱해도 그 결과 벡터가 해당 공간내에 존재해야 한다 |
부분 벡터(subspace)
정의 : 임의의 n차원 공간에 대해, n차원 공간에 포함되면서 n차원 벡터들에 대해 선형 결합 연산이 성립하는 작은 공간
조건
- 부분 공간이 되기 위해선 어떠한 수를 곱하거나, 같은 공간내의 어떠한 벡터들을 더해도 그 결과가 부분 공간내에 존재해야 한다
- $$R^2$$의 부분 공간(subspace)은 "반드시 zero vector를 포함(0을 지나야 한다)해야 한다!", 왜냐하면 어떠한 벡터도 영을 곱하면 zero vector가 되기 때문이다.
1. $$R^2$$에서 가능한 부분 공간은
- All of $$ R^2 $$
- Any line through zero vector
- zero vector only
2. $$R^3$$에서 가능한 부분 공간은
- All of $$ R^3 $$
- plane through the origin(zero vector)
- line through the origin(zero vector)
- zero vector itself
3. 두개 이상의 부분 집합의 합/교집합
어떤 부분 공간들의 합집합은 부분 공간(subspace)이 아니다.
어떤 부분 공간들의 교집합은 부분 공간(subspace)이다.