초평면

출처 : 초평면에 대해서 더 자세히 알아보자

1. $$a \cdot X =b $$

초평면(hyperplane) : $$R^n $$상의 평면

• 2차원 공간에서 2개의 점을 알면 직선을 구성할 수 있다.
  • xy 평면 상의 직선 : a1x+a2y=b

• 3차원 공간에서 3개의 점을 알면 평면을 구성할 수 있다.
  • xyz 공간 상의 평면 : a1x+a2y+a3z=b

• 즉, N차원 공간에서 N개의 점을 알면 N차원 초평면 (hyperplane) 을 구성할 수 있다
  • $$R^n$$상의 초평면 : a1x1+a2x2+...+an x n=b $$\rightarrow a \cdot X =b $$(내적으로 표현)

초평면을 구성하기 위해서는 법선벡터와, 초평면을 지나는 한 점을 알아야 한다.

• 법선벡터 : N개의 점을 서로 연결하여 N - 1개의 방향벡터를 생성후 벡터곱(외적)
• 한점 : 주어진 정보 활용

법선 벡터 w=(w1, w2, w3, ... , wN) 로 이루어진 N차원 초평면의 일반식은 다음과 같다.

• w1x1 + w2x2 + w3x3 + ... + wNxN + bias = 0

2. $$a \cdot X = 0 $$

• 원점을 지나는 $$R^n$$상의 초평면
  • a1x1+a2x2+...+an x n= 0
  • 법선 벡터가 a인 원점을 지나는 초평면면(hyperplane through the origin with normal a)
  • a의 직교 여공간(orthogonal complement of a) = $$a^{\bot}$$, a펄프

• 특징 : 정해진 벡터 a에 직교하는 모든 $$R^n$$ 상의 벡터들의 집합